تكميم نظام بيتمان المتخامد باستخدام المشتقة المتوافقة

في هذا العمل، يُقترح لاغرانج باتمان المطابق لنظام المذبذب التوافقي المخمد باستخدام مفهوم المشتقة المطابق. بمعنى آخر، تُستبدل المشتقات الصحيحة بمشتقات مطابقة من الرتبة ? حيث ?? ?? 1. ثم تُحصل على معادلات أويلر-لاغرانج المطابقة للحركة وهاميلتونيان الكسري. ثم يُكمَّم النظام بشكل قانوني، وتُبنى معادلة شرودنجر المطابقة. يُحصل على تبعية القيم الذاتية للطاقة E?n والدوال الذاتية ??n من الرتبة الكسرية باستخدام تحويلات مناسبة وطريقة نيكيفوروف-أوفاروف الكسرية الممتدة. كما تُشتق معادلة الاستمرارية المطابقة المقابلة، ويُحدد بالتالي كثافة الاحتمال وتيار الاحتمال بشكل مناسب. يُرسم ويُحلل تطور كثافة الاحتمال، بالإضافة إلى اعتماده على ?، في حالات مختلفة. لقد وجد أن القيم الذاتية للطاقة حقيقية وأن هناك نوع من الترتيب التدريجي في سلوك كثافات الاحتمالية.