التحليل النوعي والحلول الموجية التحليلية لنظير مقياس-ثابت خاص من معادلة كورتيفيغ-دي فريس

لطالما كانت معادلة كورتيفيغ-دي فريس (KdV) نموذجًا أساسيًا في دراسة ظواهر الموجات غير الخطية. ومع مرور الوقت، طوّر الباحثون امتدادات لمعادلة KdV لمراعاة بيئات فيزيائية أكثر تعقيدًا، مثل الوسائط المتغيرة، وتأثيرات التدرج، والقوى الخارجية. ومن هذه الامتدادات النظير الثابت للمقياس لمعادلة KdV (SIdV)، والذي يحتفظ ببعض السمات الرئيسية لمعادلة KdV الكلاسيكية - بما في ذلك حل السوليتون sech^2 - مع إظهار قوانين حفظ وديناميكيات غير خطية مميزة. في هذه الدراسة، نحلل معادلة SIdV محددة تتوافق مع معامل التدرج دلتا = 1/5، مما يمثل حالة خاصة ضمن عائلة KdV-SIdV الأوسع. تم اختيار هذه القيمة الخاصة لـ دلتا لأنها تُنتج بنيةً قابلةً للحل رياضيًا، مما يُتيح إجراء تحليل نوعي كامل (مثلًا، من خلال صور الطور الهاميلتونية) وبناء حلول دقيقة للموجات المتنقلة - وهي قدراتٌ غير ممكنة عادةً لـ دلتا العشوائية غير الصفرية. يتضمن التحليل اشتقاق قوانين الحفظ، وبحثًا نوعيًا من خلال صور الطور، وتصنيفًا مُفصلًا لسلوكيات الحلول. نكشف عن مجموعة من أنواع الحلول، بما في ذلك الموجات الانفرادية السلسة، وحلول الذروة، والموجات المفردة، والموجات المفردة الدورية. علاوةً على ذلك، نطبق تقنيتين تحليليتين مباشرتين - طريقة tanh وطريقة coth - للحصول على حلول للموجات المتنقلة المحدودة وغير المحدودة. تُنتج هذه الطرق حلولًا دقيقةً جديدةً لا يُمكن تحقيقها من خلال تحليل مستوى الطور النوعي وحده. تُساهم النتائج المعروضة في هذا العمل في تقديم اكتشافات جديدة لنظرية معادلات التشتت غير الخطية، وتُعزز فهم بنية الحلول الغنية لعائلة SIdV.